Un triangle n’a aucune diagonale : ses trois sommets sont déjà reliés deux à deux par ses côtés, il ne reste donc aucun segment à tracer entre deux sommets. La diagonale d’un triangle n’existe pas, mais le mot revient dans des exercices et des problèmes pratiques qui visent en réalité un autre segment. Cet article donne la règle, la formule qui la confirme et les calculs à faire à la place.
Qu’est-ce qu’une diagonale en géométrie
Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non consécutifs d’un polygone. Les côtés, eux, relient des sommets voisins.
Le carré et le rectangle ont chacun deux diagonales, qui se croisent à l’intérieur de la figure. Un pentagone en compte cinq et un hexagone neuf.
Cette définition explique tout le reste : sans sommets non consécutifs, il n’y a rien à relier. Dans un quadrilatère, chaque sommet a un sommet opposé qui n’est pas son voisin, et c’est ce couple qui forme la diagonale.
Pourquoi un triangle n’a aucune diagonale
Dans un triangle, chaque sommet est voisin des deux autres. Tout segment qui joint deux sommets est donc un côté, jamais une diagonale.
Le triangle est le seul polygone sans diagonale, puisque dès quatre côtés un sommet possède au moins un sommet non voisin. La question « un triangle a-t-il des diagonales ? » reçoit donc toujours la même réponse : zéro.
La formule n(n-3)/2 appliquée au triangle
Le nombre de diagonales d’un polygone à n côtés vaut n(n-3)/2. Chaque sommet se relie à n-3 sommets non voisins (on exclut lui-même et ses deux voisins), et on divise par 2 parce que chaque diagonale est comptée depuis ses deux extrémités.
| Polygone | Côtés (n) | Calcul | Diagonales |
|---|---|---|---|
| Triangle | 3 | 3 × 0 / 2 | 0 |
| Quadrilatère | 4 | 4 × 1 / 2 | 2 |
| Pentagone | 5 | 5 × 2 / 2 | 5 |
| Hexagone | 6 | 6 × 3 / 2 | 9 |
Pour n = 3, le facteur n-3 s’annule : le résultat est nul, quelle que soit la forme du triangle. Cette formule se vérifie comme un calcul de prime d’assiduité : on applique les étapes dans l’ordre, sans sauter la soustraction.
Triangle rectangle : la diagonale du rectangle devient l’hypoténuse
Quand une recherche mentionne une « diagonale » avec un triangle, il s’agit souvent d’un rectangle coupé en deux. La diagonale découpe le rectangle en deux triangles rectangles et en constitue l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit.
Le théorème de Pythagore donne sa longueur : diagonale² = longueur² + largeur². Pour un rectangle de 3 sur 4, la diagonale vaut la racine de 9 + 16, soit 5. Pour un carré de côté a, elle vaut a√2.
Le détail des formules et d’autres exemples figurent dans notre page sur le calcul de la diagonale d’un rectangle.
Autre cas fréquent : le triangle isocèle, où la hauteur issue du sommet principal coupe la base en deux parties égales. Si la base mesure 6 cm et que les côtés égaux mesurent 5 cm, la moitié de la base vaut 3 cm et la hauteur vaut la racine de 25 – 9, soit 4 cm.
Hauteur, médiane, bissectrice : les segments confondus avec une diagonale
Ces trois segments partent d’un sommet du triangle, ce qui les fait parfois appeler diagonales à tort. Chacun a sa définition :
- la hauteur rejoint le côté opposé en formant un angle droit avec lui ;
- la médiane rejoint le milieu du côté opposé ;
- la bissectrice partage l’angle du sommet en deux angles égaux.
Dans un triangle équilatéral de côté a, ces trois segments se confondent, et la hauteur vaut a√3/2, soit environ 0,866 a. Pour un côté de 10 cm, elle mesure donc environ 8,66 cm. Le calcul vient de Pythagore appliqué à la moitié du triangle : h² = a² – (a/2)².
Diagonale d’un écran : un triangle rectangle caché
Les pouces annoncés pour un téléviseur ou un moniteur mesurent sa diagonale. La largeur, la hauteur et la diagonale forment un triangle rectangle, donc le même théorème s’applique.
Un pouce vaut exactement 25,4 mm, soit 2,54 cm. Un écran de 24 pouces a ainsi une diagonale de 60,96 cm. Au format 16:9, la largeur et la hauteur sont dans le rapport 16 à 9, et les dimensions réelles sont d’environ 53 cm sur 30 cm.
Le même raisonnement donne les dimensions d’un écran de 10 pouces, soit 25,4 cm de diagonale : environ 22 cm de large pour 12,5 cm de haut au format 16:9. Pour retrouver la diagonale à partir des côtés, on additionne leurs carrés puis on prend la racine, exactement comme pour le rectangle.
Les conversions d’unités demandent la même rigueur qu’en surface, comme le montre la conversion des hectares en km². Convertir d’abord la diagonale en centimètres évite les erreurs de calcul sur la largeur et la hauteur.
Un triangle ne se mesure donc jamais par une diagonale. Selon le besoin, c’est l’hypoténuse, la hauteur ou la médiane qu’il faut calculer, et la formule de Pythagore couvre la plupart des cas.
